On considère un cube ABCDEF GH d’arête de longueur 1. On se place dans le repère orthonormal (A;$\ \vec{AB}$;$\ \vec{AD}$;$\ \vec{AE}$). On considère les points :

I(1,$\ \frac{1}{3}$,0) ; J(0,$\ \frac{2}{3}$,1); K($\ \frac{3}{4}$,0,1)et L(a, 1, 0)

avec a un nombre réel appartenant à l’intervalle [0; 1]. Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A :
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).
2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique $$\ \left\{ \begin{array} xx =\frac{3}{4}+ t'(a-\frac{3}{4}) \\ y =t' \\ z =1-t'\end{array} \right. , t'\in \mathbb{R} $$.
3. Démontrer que les droites(IJ) et(KL)sont sécantes si, et seulement si, a =$\ \frac{1}{4}$
Partie B:  Dans la suite de l’exercice, on pose a =$\ \frac{1}{4}$, le point L de coordonnées ($\ \frac{1}{4}$,1,0)
1. Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.
2. La figure ci-dessous fait apparaître l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cubeABCDEF GH telle qu’elle a été obtenue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.

On désigne par M le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (DH).
Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.
a) Prouver que le vecteur $\ \vec{n}$ de composantes $\ \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 5 \end{pmatrix} $ est un vecteur normal au plan (IJK).
b) En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x+ 9y + 5z −11 = 0.
c) En déduire les coordonnées des points M et N.

On considère un cube ABCDEFGH, d’arêtes de longueur 1. On note I le point d’intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).
1. On se place dans le repère (D;$\ \vec{DA},\vec{DC},\vec{DH}$). Dans ce repère, les sommets du cube ont pour coordonnées : A(1; 0; 0) B(1; 1; 0) C(0; 1; 0) D(0; 0; 0) E(1; 0; 1)F(1; 1; 1) G(0; 1; 1) H(0; 0; 1)
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (AFH).
c. En déduire les coordonnées du point I, puis montrer que le point I est le projeté orthogonal du point E sur le plan (AFH).
d. Vérifier que la distance du point E au plan (AFH) est égale à $\ \frac{\sqrt{3}}{3}$.
e. Démontrer que la droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF). Que représente le point I pour le triangle AF H ?
2. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Définitions :
• un tétraèdre est dit de type 1 si ses faces ont même aire ;
• il est dit de type 2 si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux ;
• il est dit de type 3 s’il est à la fois de type 1 et de type 2.
Préciser de quel(s) type(s) est le tétraèdre EAFH.