Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère les points A, B et C du plan complexe d’affixes respectives a = −1+2i ; b = −2 −i ; c = −3 +i.
1. Placer les points A, B et C sur le graphique.
2.

a) Calculer $\ \frac b a$

b) En déduire la nature du triangle OAB.

On donne un point M d’affixe z avec z $\ \neq i$, associe le point M' d’affixe : $$\ z'= \frac {z+1} {z-i}$$
On note A(1+2i) et B(i).
Déterminer puis construis l'ensemble de points M sachant que M' décrit le cercle de centre H(2) et de rayon 1.

M' décrit le cercle de centre H(2) et de rayon 1 alors |z'-2|=1.
De plus on a :$$\ z'= \frac {z+1} {z-i}$$ $$\ z'-2= \frac {z+1} {z-i} - 2$$ $$\ z'-2= \frac {z+1-2(z-i)} {z-i}$$ $$\ |z'-2|= \frac {|-z+1+2i|} {|z-i|}$$ $$\ 1= \frac {|z-(1+2i)|} {|z-i|}$$ $$\ 1= \frac {MA} {MB}$$ $$\ MA=MB $$ Donc l'ensemble des points M est la médiatrice du segment [AB]

Soit A le point d'affixe 3i et f la fonction qui à tout point M d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' définie par :
$$\ z'=\frac{3iz-7}{z-3i}$$
1. Le plan complexe rapporté au repère orthonormal (O;$\ \vec {u};\vec{v}$) .

a)Quelle est l'affixe du point  O' image du point O par f ?

b) Quel est l'affixe du point qui a son image le point d'affixe 4+3i ?

2.Soit (E) l'équation : $\ z^2$-6iz+7=0.

a) Montrer que -i est une solution de (E)

b) En déduire l'autre solution de (E) dans C.

c) Prouver que f admet deux points invariants dont-on précisera ses affixes.

On considere l’application f qui à tout point M d’affixe z différente de −1, fait
correspondre le point M' d’affixe :  $\ \frac{ 1}{z + 1}$
Le but de l’exercice est de déterminer l’image par f de la droite D d’équation $\ x = −\frac{1}{2}$
1. Soient A, B et C les points d’affixes respectives :
$\ z_A$= −$\ \frac{1}{2}$, $\ z_B$ = −$\ \frac{1}{2}$+i et  $\ z_C$= −$\ \frac{1}{2}$(1+i).
a. Placer les trois points A, B et C en prenant 2 cm pour unité graphique.
b. Calculer les affixes des points A'= f(A), B'= f(B) et C'= f(C) et placer les points A', B'et C' sur la figure.
c. Démontrer que les points A', B'et C' ne sont pas alignés.
2. Soit g la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z, fait correspondre le point $ \ M_1 $ d’affixe z + 1.
a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g.
b. Sans donner d’explication, placer les points $\ A_1$, $\ B_1$ et $\ C_1$ images respectives par g de A, B et C et tracer la droite $\ D_1$ image de la droite D par g.
c. Démontrer que $\ D_1$ est l’ensemble des points M d’affixe z telle que |z −1| = |z|
3. Soit h l’application qui, à tout point M d’affixe z non nulle, associe le point $\ M_2$  d’affixe $\ \frac {1}{z}$
a. Justifier que :  h($\ A_1$) = A', h($\ B_1$) = B' et h($\ C_1$) = C'
b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a : $$\ |\frac{1}{z}-1|= 1 ⇐⇒ |z −1| = |z|$$
c. En déduire que l’image par h le la droite $\\ D_1$ est incluse dans un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.
On admet que l’image par h de la droite $\ D_1$ est le cercle C privé de O.
4. Déterminer l’image par l’application f de la droite D.

On appelle J l’image du point A par la rotation r de centre O et d’angle $\ -\frac{π}{2}$.
On appelle K l’image du point C par la rotation r' de centre O et d’angle $\ \frac{π}{2}$.
Démontrer que la médiane issue de O du triangle OJK est la hauteur issue de O du triangle OAC.

O est le centre d'un repere orthonorme
R la rotation de centre O et d’angle $\ \frac{π}{6}$.
On considère le points A, d’affixe a = -$\ \sqrt3$ + i, le point $\ A_1$ d’affixe $\ a_1$ = $\  \bar a$.
On note enfin B l’image du point $\ A_1$ par la rotation R et b l’affixe du point B.
a. Écrire le nombre complexe a sous forme exponentielle, puis placer les points A et $\ A_1$, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité graphique.
b. Vérifier que b = 2$\ e^{\frac{−2iπ}{3}}$, puis écrire le nombre complexe b sous forme algébrique.
Placer le point B dans le même repère.

Le plan est rapporté a un repère orthogonal direct (O,$\ \vec u$,$\ \vec v$).
On prendra $\ \left\| \overrightarrow { u } \right\|$ = $\ \left\| \overrightarrow { v } \right\| $=3
1. Déterminer le module et l'argument de a=$\ \sqrt3$ - i.
On pose A le point d'affixe a. Construis A
2. On note f l'application associée a la rotation de centre O et d'angle $\ \frac { \pi }{ 4 }$.
Exprimer f(z).
3. B est l'image de A par f. Construis B puis déterminer son affixe b en forme algébrique et trigonométrique.
4. Déduire les valeurs exactes de cos$\ \frac { \pi }{ 12 }$ et sin$\ \frac { \pi }{ 12 }$