a) Montrer que pour tout entier a non nul :
$\ \sqrt{a+1}$+ $\ \sqrt{a-1}$ < 2 $\ \sqrt{a}$
b) Montrer que : $\ \sqrt{2003}$+$\ \sqrt{2005}$ < $\ 2\sqrt{2004}$
a) En calcule le carre de premier membre on aura : $\ (\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1})^2 = a+1 + 2 \sqrt{a+1}. \sqrt{a-1} + a-1$ $$\ = 2a + 2 \sqrt{(a+1)(a-1)}$$ $$\ = 2a + 2 \sqrt{a^2-1}$$ ( car $\ a^2-1 < a^2 $ ) $$\ < 2a + 2 \sqrt{a^2}$$ ( a un entier naturel ) $$\ = 2a + 2a $$ $$\ = 4a$$ Les deux membres sont positives alors par application de racine carre on aura : $$\ \sqrt{a+1}+\sqrt{a-1} < \sqrt{4a^2} $$ $$\ \sqrt{a+1}+\sqrt{a-1} < 2\sqrt{a} $$ b) Le résultat se découle directement de a) en donnant a=2004
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