On considère la suite ($\ I_n$) définie pour tout n entier naturel non nul par :
$$\ I_n = \int_0^1 x^ne^{x^2}dx$$.
a) Soit g la fonction définie par g(x) = $\ xe^{x^2}$.
Démontrer que la fonction G définie sur R par G(x) =$\ \frac{1}{2}e^{x^2}$ est
une primitive sur R de la fonction g.
b) En déduire la valeur de $\ I_1$.
c) À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n, supérieur
ou égal à 1, on a :$$\ I_{n+2} = \frac{1}{2}e − \frac {n + 1}{2}I_n$$.
d) Calculer $\ I_3$ et $\ I_5$
$$\ I_n = \int_0^1 x^ne^{x^2}dx$$.
a) Soit g la fonction définie par g(x) = $\ xe^{x^2}$.
Démontrer que la fonction G définie sur R par G(x) =$\ \frac{1}{2}e^{x^2}$ est
une primitive sur R de la fonction g.
b) En déduire la valeur de $\ I_1$.
c) À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n, supérieur
ou égal à 1, on a :$$\ I_{n+2} = \frac{1}{2}e − \frac {n + 1}{2}I_n$$.
d) Calculer $\ I_3$ et $\ I_5$
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