On considere l’application f qui à tout point M d’affixe z différente de −1, fait
correspondre le point M' d’affixe :  $\ \frac{ 1}{z + 1}$
Le but de l’exercice est de déterminer l’image par f de la droite D d’équation $\ x = −\frac{1}{2}$
1. Soient A, B et C les points d’affixes respectives :
$\ z_A$= −$\ \frac{1}{2}$, $\ z_B$ = −$\ \frac{1}{2}$+i et  $\ z_C$= −$\ \frac{1}{2}$(1+i).
a. Placer les trois points A, B et C en prenant 2 cm pour unité graphique.
b. Calculer les affixes des points A'= f(A), B'= f(B) et C'= f(C) et placer les points A', B'et C' sur la figure.
c. Démontrer que les points A', B'et C' ne sont pas alignés.
2. Soit g la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z, fait correspondre le point $ \ M_1 $ d’affixe z + 1.
a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g.
b. Sans donner d’explication, placer les points $\ A_1$, $\ B_1$ et $\ C_1$ images respectives par g de A, B et C et tracer la droite $\ D_1$ image de la droite D par g.
c. Démontrer que $\ D_1$ est l’ensemble des points M d’affixe z telle que |z −1| = |z|
3. Soit h l’application qui, à tout point M d’affixe z non nulle, associe le point $\ M_2$  d’affixe $\ \frac {1}{z}$
a. Justifier que :  h($\ A_1$) = A', h($\ B_1$) = B' et h($\ C_1$) = C'
b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a : $$\ |\frac{1}{z}-1|= 1 ⇐⇒ |z −1| = |z|$$
c. En déduire que l’image par h le la droite $\\ D_1$ est incluse dans un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.
On admet que l’image par h de la droite $\ D_1$ est le cercle C privé de O.
4. Déterminer l’image par l’application f de la droite D.

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