Le responsable d'un parc municipal, situé au bord d'une large rivière veut aménager une aire de baignade
surveillée de forme rectangulaire. Il dispose d'un cordon flottant de 160 m de longueur et des deux bouées A et B. On se propose pour l'aider à déterminer comment placer les deux bouées A et B pour que l'aire soir maximale.
1) Si la distance de la bouée A à la rive est de 25 m.
Quelle est la longueur de la zone de baignade ?
Quelle est alors son aire ?
2)
a. Montrer que la distance x (en m) de la bouée A à la rive varie entre 0 et 80.
b. Expliquer pourquoi la longueur de la zone de baignade est égale à 160-2x.
c. On désigne par A(x) l'aire en m² de cette zone. Cette aire est donnée en fonction de x.
Vérifier que A(x) = x(160-2x).
3) Calculer A(x) pour x variant de 0 à 80, de 10 en 10
4) Dessiner la représentation graphique correspondante.
On choisira sur l'axe des abscisses 1 cm pour représenter 10 m et sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour représenter 400 m².
5) En utilisant le graphhique ;
a) Donner une approximation de la distance x telle que l'aire de la zone de baignade soit égale à 2500 m2
b) Dire pour quelle valeur de x l'aire semble maximale.Conclure.
6)
a) Vérifier que l'équation A(x)=2500 <=> (x-40)²-350=0. Résoudre cette équation sur l'intervalle [0;80]
b) Démontrer que, pour tout réel x appartient a [0;80], A(x)-A(40)=-2(x-40)². En déduire que A admet un maximum

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