Pour analyser le fonctionnement d'une machine d'atelier, on note, mois après mois, ses pannes et on remarque que :
- sur un mois la machine tombe au plus une fois en panne ;
-si pendant le mois <<m>> la machine n'a pas de panne, la
probabilité qu'elle en ait une le mois suivant <<m+1>> est 0,24 ;
-si la machine tombe en panne le mois <<m>> (ce qui entraîne sa révision), la probabilité qu'elle tombe en panne le mois suivant <<m+1>> est 0,04 ;
-la probabilité que la machine tombe en panne le premier mois après sa mise en service est 0,1.
On désigne par En l'événement : <<la machine tombe en panne le n_ième mois suivant sa mise en service>> ; on note Pn la probabilité de En (on a ainsi P1=0,1).
1)a) Donner les valeurs numériques des probabilités de <<En+1 sachant que En>> et de <<En+1 sachant que $\ \overline { En } $>>.
Exprimer les probabilités de <<En+1 et En>>  et de <<En+1 et En>> en fonction de Pn.
b) utiliser a) pour montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a Pn+1=0,24-0,2Pn.
2)a) Résoudre l'équation p=0,24-0,2p.
b) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on pose
Un=Pn-p. Calculer Un+1 en fonction de Un ; en déduire la nature de la suite (Un).
c) En déduire les expressions en fonction de n, Un, puis de Pn.
d) Montrer que (Pn) est convergente. Expliciter sa limite.

---

Categories: Suites réelles