On considère la parabole P d'équation : y = -2$\ x^2$ + 8x dans un repère orthogonal (O ; $\ \vec{i}$ ; $\ \vec{j}$ ) d’unités 2 cm en abscisses et 0,5 cm en ordonnées. Faire une figure.
Dans tout ce qui suit, toutes les démonstrations sont bien sûr à faire par le calcul !
1. Montrer qu'il existe un seul réel p, que l'on déterminera, tel que P et la droite $\ D_p$ d'équation y= 4x + p aient un seul point commun. Tracer la droite $\ D_p$ correspondante.
2. Déterminer, suivant la valeur du réel c, le nombre de points d'intersection de P avec la droite $\ \Gamma_c$ d'équation y=c. Si elle(s) existe(nt), tracer la (ou les) droite(s) $\ \Gamma_c$ correspondant à un seul point d'intersection.
3. Montrer qu'il existe un sel réel m tel que la droite $\ \lambda_m$ d'équation y= mx et P aient un seul point commun. Tracer la droite \lambda_m correspondante. Que se passe-t-il pour les autres valeurs de m ? Justifier
4. On considère le point A(1 ; -2)
a) Démontrer que, pour tout réel s, la droite $\ d_s$ d'équation réduite y= sx - s - 2 passe par le pont A.
b) Démontrer que pour toute droite$\ d_s$ coupe P en deux points distincts.
c) Existe-t-il une droite passant par A et coupant P en un seul point ? Justifier.
5. On considère le point B(0 ; 2), et la droite $\ \delta_t$ passant par B et de coefficient directeur t .
a) Déterminer, en fonction du paramètre t, l'équation réduite de $\ \delta_t$.
b) Pour quelles valeurs de t la droite $\ \delta_t$ ne coupe-t-elle pas P ?
c) Si elle(s) existe(nt), tracer la (ou les) droites $\ \delta_t$ coupant P en un seul point .
Dans tout ce qui suit, toutes les démonstrations sont bien sûr à faire par le calcul !
1. Montrer qu'il existe un seul réel p, que l'on déterminera, tel que P et la droite $\ D_p$ d'équation y= 4x + p aient un seul point commun. Tracer la droite $\ D_p$ correspondante.
2. Déterminer, suivant la valeur du réel c, le nombre de points d'intersection de P avec la droite $\ \Gamma_c$ d'équation y=c. Si elle(s) existe(nt), tracer la (ou les) droite(s) $\ \Gamma_c$ correspondant à un seul point d'intersection.
3. Montrer qu'il existe un sel réel m tel que la droite $\ \lambda_m$ d'équation y= mx et P aient un seul point commun. Tracer la droite \lambda_m correspondante. Que se passe-t-il pour les autres valeurs de m ? Justifier
4. On considère le point A(1 ; -2)
a) Démontrer que, pour tout réel s, la droite $\ d_s$ d'équation réduite y= sx - s - 2 passe par le pont A.
b) Démontrer que pour toute droite$\ d_s$ coupe P en deux points distincts.
c) Existe-t-il une droite passant par A et coupant P en un seul point ? Justifier.
5. On considère le point B(0 ; 2), et la droite $\ \delta_t$ passant par B et de coefficient directeur t .
a) Déterminer, en fonction du paramètre t, l'équation réduite de $\ \delta_t$.
b) Pour quelles valeurs de t la droite $\ \delta_t$ ne coupe-t-elle pas P ?
c) Si elle(s) existe(nt), tracer la (ou les) droites $\ \delta_t$ coupant P en un seul point .
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