Caractérisation vectorielle de l'orthocentre.
A. On considère K défini par $\ \vec{OK}$=$\ \vec{OA}$+$\ \vec{OB}$+$\ \vec{OC}$ et A' le milieu de [BC]
1)Construire le point K. Quelle conjecture peur on faire sur le point K.
2)a.Démontrer que $\ \vec{OB}$+$\ \vec{OC}$=$\ \vec{OA'}$, en déduire l'expression de $\ \vec{AK}$ en fonction de $\ \vec{OA'}$.
b. Justifier que les droites (AK) et (OA') sont parallèles.
c. Démontrer que les droites (AK) et (BC) sont perpendiculaires
3) Pourquoi les droites (BK) et (AC) sont elles également perpendiculaires?
4)En déduire que l'orthocentre H vérifie l'égalité
$\ \vec{OH}$= $\ \vec{OA}$+$\ \vec{OB}$+$\ \vec{OC}$
B. Démonstration de l'alignement de O,G et H (G est le centre de gravite du triangle ABC)
1)A l'aide de l'égalités obtenu sur H, démontrer que $\ \vec{OH}$=3$\ \vec{OG}$
2)Dans quelle configuration a t'on O=G=H,?
3)En dehors du cas précédent, montrer que les trois points O,G et H sont alignés sur une droite qu'on appelle la droite d'EULER du triangle ABC.
4)On suppose que ABC est rectangle en A
a. Indiquer les, positions de H et de O
b.En déduire la droite d'Euleur du triangle ABC.

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