Le responsable d'un parc municipal, situé au bord d'une large rivière veut aménager une aire de baignade
surveillée de forme rectangulaire. Il dispose d'un cordon flottant de 160 m de longueur et des deux bouées A et B. On se propose pour l'aider à déterminer comment placer les deux bouées A et B pour que l'aire soir maximale.
1) Si la distance de la bouée A à la rive est de 25 m.
Quelle est la longueur de la zone de baignade ?
Quelle est alors son aire ?
2)
a. Montrer que la distance x (en m) de la bouée A à la rive varie entre 0 et 80.
b. Expliquer pourquoi la longueur de la zone de baignade est égale à 160-2x.
c. On désigne par A(x) l'aire en m² de cette zone. Cette aire est donnée en fonction de x.
Vérifier que A(x) = x(160-2x).
3) Calculer A(x) pour x variant de 0 à 80, de 10 en 10
4) Dessiner la représentation graphique correspondante.
On choisira sur l'axe des abscisses 1 cm pour représenter 10 m et sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour représenter 400 m².
5) En utilisant le graphhique ;
a) Donner une approximation de la distance x telle que l'aire de la zone de baignade soit égale à 2500 m2
b) Dire pour quelle valeur de x l'aire semble maximale.Conclure.
6)
a) Vérifier que l'équation A(x)=2500 <=> (x-40)²-350=0. Résoudre cette équation sur l'intervalle [0;80]
b) Démontrer que, pour tout réel x appartient a [0;80], A(x)-A(40)=-2(x-40)². En déduire que A admet un maximum

ABC est un triangle rectangle en A avec AB=15cm et AC=5cm
M etant un point du segment[AB], N un point [BC] et P un point du segment [AC] tels que AMNP soit un rectangle.
On pose BM=x

Soit les fonctions f et g définies sur [0;3] par : f(x)= x² et g(x) = $\ \frac{1}{x+1}.
1)Tracer, à la calculatrice, les courbes représentatives Cf et Cg, respectivement de f et de g.
Conjecturer les coordonnées du point d'intersection des courbes Cf et Cg et leurs positions relatives sur [0;3].
2)On pose d(x) = f(x) - g(x) sur [0;3].

a) Etudier les variations de d sur [0;3]
b) Montrer que l'équation d(x) = 0 admet une unique solution notée alpha sur [0;3].
c) En déduire le tableau de signes de d(x).

A. Choisir la bonne réponse avec justification :
1. Pour la fonction f(x) = $\ \frac{x^2+1}{4x-3}$

2. Pour la fonction f(x) = $\ x^3$ - x+1

Soit H l'hyperbole de l'équation: y=$\ \frac{1}{x}$ soit A et B deux points distincts de (H), la droite (AB) coupe les axes du repère en P et en Q.
démontrer que les segments [AB] et [PQ] ont le même milieu.

On considère la parabole P d'équation : y = -2$\ x^2$ + 8x dans un repère orthogonal (O ; $\ \vec{i}$ ; $\ \vec{j}$ ) d’unités 2 cm en abscisses et 0,5 cm en ordonnées. Faire une figure.
 Dans tout ce qui suit, toutes les démonstrations sont bien sûr à faire par le calcul !
1. Montrer qu'il existe un seul réel p, que l'on déterminera, tel que P et la droite $\ D_p$ d'équation y= 4x + p aient un seul point commun. Tracer la droite $\ D_p$ correspondante.
2. Déterminer, suivant la valeur du réel c, le nombre de points d'intersection de P avec la droite $\ \Gamma_c$ d'équation y=c. Si elle(s) existe(nt), tracer la (ou les) droite(s) $\ \Gamma_c$ correspondant à un seul point d'intersection.
3. Montrer qu'il existe un sel réel m tel que la droite $\ \lambda_m$ d'équation y= mx et P aient un seul point commun. Tracer la droite \lambda_m correspondante. Que se passe-t-il pour les autres valeurs de m ? Justifier
4. On considère le point A(1 ; -2)
a) Démontrer que, pour tout réel s, la droite $\ d_s$ d'équation réduite y= sx - s - 2 passe par le pont A.
b) Démontrer que pour toute droite$\ d_s$ coupe P en deux points distincts.
c) Existe-t-il une droite passant par A et coupant P en un seul point ? Justifier.
5. On considère le point B(0 ; 2), et la droite $\ \delta_t$ passant par B et de coefficient directeur t .
a) Déterminer, en fonction du paramètre t, l'équation réduite de $\ \delta_t$.
b) Pour quelles valeurs de t la droite $\ \delta_t$ ne coupe-t-elle pas P ?
c) Si elle(s) existe(nt), tracer la (ou les) droites $\ \delta_t$ coupant P en un seul point .

Une usine fabrique un solvant, sa capacité de production x, en hectolitres, est comprise entre 1 et 26.
Le coût total de production, en milliers d'euros, est donné par la fonction C représentée sur le graphique par la courbe C.
La recette, en milliers d'euros, est donnée par la fonction R représentée par la droite D.
A/ Lecture graphique
 1/ Déterminer graphiquement le prix de vente de 20 hectolitres de produit et en déduire l'expression de R(x) en fonction de x.
 2/ Déterminer l'intervalle des valeurs de x pour lesquelles l'usine est bénéficiaire.
 3/ A l'aide d'une règle, déterminer l'abscisse x0 d'un point de C où la tangente est parallèle à D.
     Que dire du bénéfice réalisé avec cette valeur x0 ?
 B/ Bénéfice maximal Le bénéfice B en milliers d'euros, est donné par B(x) = -3x²+82x-261
 4/ Démontrer que le coût total de C est donné par C(x) = 3x²-47x+261
 5/ Quelle est la production qui assure le bénéfice maximal ? on note cette production x1.
Déterminer une équation de la tangente à C au point d'abscisse x1
 6/ Vérifier la cohérence des résultats obtenus en A.3

Soit f la fonction définie sur R par f(x)= (2x+6)- $\ (x+3)^2$
1. Développez puis factorisez f(x).
2. En choisissant l’espression la mieux adaptée (développée ou factorisée), calculez à la main les images de 0 ; 2 et $\ \frac{-1}{2}.
 3. Déterminez par calcul le ou les antécédents de 0 et -3 par f.
4. Pour quelle valeur de x on a f(x) soit maximal ?

Une entreprise produit des appareils photographiques jetables. Les coûts, en euros, liés à cette fabrication dépendent de la qualité x d'appareils fabriques. Ils s'expriment par la relation C(x)=0,2$\ x^2$-6x+50.
1. Calculer le montant des coûts pour une production de 20 appareils.
2. Calculer le nombre d'appareils fabriqués correspondant à un coût d'un montant de 250 euros.
3. Le prix de vente unitaire de ces appareils jetables est égale à euros. Prouver que le revenu lié à la vente de x appareils est R(x)=6x.
4. Prouver que le bénéfice associe à la vente de x objets est donne par la fonction :
B(x)=-0,2$\ x^2$+12x-50.
Déterminer pour quels nombres d'objet l'entreprise produirait et vendrait à perte.

OAB est un triangle rectangle isocèle en A avec OA=6cm.
M un point de [OA], N un point de [OB] tel que OM=NB. Le point M peut se déplacer sur [OA].
1) On pose OM=x (en cm).
A quel intervalle x appartient ? Exprimer la longueur de ON puis l'aire de OMN en fonction de x.
2) On note A la fonction qui à la longueur x de OM (en cm) associe l'aire de OMN (en cm²).
a)Quelle est l'expression de A(x) ? Quel est l'ensemble de définition de la fonction A ?
b)Tracer la courbe qui représente A.
3)Où doit se placer M pour que le triangle OMN ait une aire de 3 cm² ? Tracer le(s) triangle(s) solution.

Dans le plan muni d'un repère,on considère la parabole P d'équation y=$\ x^2$ et , pour tout nombre réel α ,
on note Dα la droite non verticale de pente m passant par le point A de coordonnées (1;2).
1)Soit α un nombre réel.Donner l'équation réduite de Dα .
2)Montrer qu'un point B du plan appartient à P et à Dα si et seulement si ses coordonnées sont les solutions du système :
y=$\ x^2$
$\ x^2$-mx+m-2=0
3)En déduire que Dα coupe P en deux points.