Le nombre N = 154 0454 208 091.
1. Déterminer les entiers a et b tels que N = a x 10^6 + b
2. Déterminer le reste de 10² par 97, en déduire celui de 10^6 pat 97.
3. En déduire que K ≡ 97-27a-b [97].

On considère la série statistique: 4x-5-9-13, avec x un nombre réel appartenant à l'intervalle [1;4].
1. Soit m la fonction définie sur [1;4] correspondant à la moyenne de la série statistique ci dessus. donner l'expression de m(x) en fonction de x.
2. soit v(x) la variance de cette série. étudier la variance de cette série. étudier les variations de la fonction V.
3. déterminer les extremum de la fonction V.

Soit A et B deux points tel que AB = 4.
G le barycentre des points pondérés (A,3) et (B.1) et K le barycentre des points pondérés (A,1) et (B,3).
1. Construis les points G et K
2. Montrer que [AB] et [GK] ont le même milieu.

On donne l’équation (E) : 2$\ x^2$+(6+m)x+3m = 0      
1. Résoudre l’équation (E) lorsque m= 2
2. Développer : $\ (6-\sqrt 2)^2$
3. Ecrire  $\ \sqrt{38-12\sqrt 2} $ sous forme a+b$\ \sqrt 2$
4. On prend maintenant m= $\ \sqrt 2$        (x' et  x'' les racines de (E) s’ils existent)
a. On suppose que x' et x'' existent. Sans calculer x' et x'', montrer qu’ils sont de même signe.
 b. Résoudre (E).

Soit un triangle ABC rectangle en B tel que AB= 8 cm et BC= 6 cm
1/ Construire le point I le barycentre des points pondérés (A,1) et (C,2)
2/ Soit le point J vérifiant  $\ \vec {AJ} =\frac{1}{4}\vec{ AB}$
.Montrer que le point J est le barycentre des points A et B
affectés des coefficients que l’on déterminera. Construire J .
3/Soit le point G le barycentre des points (A ,3) ; (B,1) ; (C,6)
a) Montrer que G est le barycentre des points pondérés (I ,9) et (B,1)
b) Montrer que les points G , J et C sont alignés.
c) Construire alors le point G
4/ Soit L le barycentre de (A ; 1) et (B ; 2) .Montrer que les droites ( I L ) et (BC) sont parallèles.
5/ Déterminer et construire l’ensemble H des points M du plan tels que :
||$\ 3\vec{MA}+\vec{MB}+6\vec{MC}$|| = 5 ||$\ \vec{MA}-\vec{MB}$||
6 / Soit l’application f du plan dans lui même qui à tout point M associe le point M’ tel que :
M’ est la barycentre des points (A ,1 ) ; ( B , -1 ) et ( M , 1 )
a) Montrer que f est la translation de vecteur $\ \vec{BA}$
b) Construire le point G’ l’image de G par la translation de vecteur $\ \vec{BA}$
c) Déterminer et construire l’image de l’ensemble H par la translation de vecteur $\ \vec{BA}$

On considère une corde de 1 m de longueur. Ou faut il couper cette corde afin de pouvoir former avec l'un des morceaux un carré et avec l'autre un triangle équilatéral de telle facon que la somme de leurs aires soit minimal ?

On se propose de résoudre l'équation (E):$\  z^4 - 5z^3 + 6z² - 5z + 1 = 0$.
1) Vérifier que 0 n'est pas solution de (E).
2) Soit (E') l'équation: z² + (1/z²) -5(z + (1/z)) + 6 = 0.
Démontrer que (E) et (E') ont les mêmes solutions dans C.
3) On pose Z= z + (1/z). Calculer z² + (1/z²) en fonction de Z.
4) Soit z une solution de (E'). Démontrer que Z est solution de l'équation Z² - 5Z + 4= 0.
5) Démontrer que (E) admet 4 solutions dans C que l'on déterminera.

Montrer par récurrence :$$\ \sum_1^n {\frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}}= \frac{1}{3}[\frac{1}{6}-\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}]$$

Soit ABCD un carré. Soit O le centre du carré.
- Soit C1 le cercle de centre A et de rayon AO.
On nomme respectivement E et F ses intersections avec [AB] et [AD].
- Soit C2, le cercle de centre B et de rayon BO.
On nomme respectivement G et H ses intersections avec [BC] et [BA].
- Soit C3 le cercle de centre C et de rayon CO.
On nomme respectivement I et J ses intersections avec [CD] et [BC].
- Soit C4 le cercle de centre D et de rayon DO.
On nomme respectivement K et L ses intersections avec [AD] et [CD].

1) Tracer soigneusement la figure.
2) Quelle semble être la nature du polygône HEJGLIFK ?
3) On considère le repère (A;B,D)

a)Déterminer le rayon des quatre cercles
b)En déduire les coordonnées de H, E et K dans le repère (A;B,D)
c)Démontrer que HK=HE

4) En utilisant des symétries, montrer que le polygône HEJGLIFK est régulier, i.e. que ses côtés sont de même longueu

Soit f une fonction numérique définie et continue sur R+
tel que : f(0)=1 et lim f(x) quand x tend vers +oo égal 0
1- montrer q'il existe un c de ]0;+oo[ tel que f(c)=c
2-montrer que pour n'importe b de ]0;1[ il existe un c de ]0;+oo[ tel que f(c)=b

1. Construire un carré ABCD et son centre O. Construire I, point d'intersection du cercle de centre A passant par O et de [AB], et J point d'intersection du cercle de centre A passant par O et de [AD].
2) Tracer le triangle CIJ.Semble t il equilateral ?
3).a) Le repère (A,B,D) est-il orthonormé ?
b) Déterminer dans ce repère les coordonnées des différents points construits.
c) Caculer CI², CJ², IJ² et en deduire que le triangle CIJ est équilatérale.

Soit U la suite définie par $\ U_{0}$=20 et par la relation de récurrence: (R)$\ U_{n+1}$ = 1/2 $\ U_{n}$ +$\ n^2$ +3.
a)La suite un est-elle arithmétique? Géométrique?
b)Démontrer qu'il existe un seule suite ($\ V_{n}$), que l'on déterminera, vérifiant la relation (R) et telle que la forme explicite soit un polynôme du second degré. Pourquoi est-elle différente de la suite ($\ U_{n}$)?

Trouver deux réels x et y  vérifiant :

(a) x.y = 612 et (x+3)(y+3) = 777
(b) x+y=-1 et $\ \frac{1}{x}$+$\ \frac{1}{y}$= $\ \frac{1}{12}$

On donne l’équation (E) $\ x^2$-2$\ \sqrt 5$ x – 8 = 0
1) Prouver que (E) admet deux racines distincts x’ et x’’ (on ne demande pas de calculer x’ et x’’)
2) Calculer les expressions suivantes :
A= (2x’+1)(2x’’+1)
B= $\ x'^2$+$\ x''^2$
C= $\ \frac{1}{x'}$+$\ \frac{1}{x''}$

Répondre par vrai ou faux
1. On donne l’équation (E) : 2$\ x^2$-4x+1 = 0
a. Le réel 2 est une racine de (E)
b. Le réel $\ \frac{2+\sqrt 2}{2}$  est une racine de (E)
c. Le discriminant ∆ = 8
d. Le réel (-1) est une solution (E)
2. On donne l’équation (E’) :$\ x^2$+ (m+1) x +4=0 (m étant un paramètre réel)
a. (E) admet deux racines distincts si mϵ ]-∞,-5[∪]3,+∞[
b. 1 est une racine de (E) si m= -6
c. Si (E) admet deux solutions x' et x'' alors x'+x'' ne dépend pas de m

Calculer les limites suivants :
(1) $\ \lim_{x->+\infty} {1-x(2+x^2)}$

(2) $\ \lim_{x->-\infty} {(1+x)(2+x-x^2)}$
(3) $\ \lim_{x->+\infty} {2-\frac{x}{2+x^2}}$

Calculer : $\ \lim _{ +\infty }{ \left[ \sqrt { 4x+1 } -2\sqrt { x } \right] }$

Un triangle ABC variable, rectangle en A, dont l'hypoténuse a une longueur constante égale à 6. On pose x=AB. On note S(x) l'aire du triangle.
1. Donner le domaine de définition D de S.
2. Montrer que pour tout réel de D on a
S(x)= $\ \frac{x\sqrt{36-x^2}}{2}$.
3. Déterminer le domaine de dérivabilité D' de S puis calculer S'(x) pour x réel de D'

Une urne contient 6 boules : 3 rouges, 2 bleues, 1 jaune.
1) on tire une boule au hasard note sa couleur la remet dans l'urne on mélange et on en tire une seconde. Calculer le cardinal des événements (le nombre de résultats possible() :
a) A = les 2 boules tirées sont de la même couleur
b) B = la boule jaune a été tirée
2) on tire une boule au hasard et sans la remettre on n'en tire une seconde. Calculer le cardinal des événements suivant :
a) A' = les boules tirées sont de la même couleur
b) B' = la boule jaune a été tirée

Monsieur TocToc, professeur de mathématique, souhaite créer des QCM.
Il dispose de n questions différentes.
Chaque QCM doit contenir p questions.
Combien de QCM TocToc peut-il faire ?

Un disque circulaire est divisé en quatre secteurs. On se propose de colorier ces secteurs de façon que deux secteurs contigus soient de couleurs différentes.
1. Montrer qu'avec 4 couleurs il y a 84 coloriages possibles.

Montrer, par récurrence, que $\ 3^n \leq n^2

Résoudre dans IR les équations suivantes :
(E1) $\ x^2$-x+1=0
(E2) 3$\ x^2$-x-4=0
(E3) -5$\ x^2$+2$\ \sqrt 5$ x -1 = 0
(E4) -6$\ x^2$-x+2=0
(E5) $\ \sqrt{x-4}$ = 2x-1
(E6) 7$\ x^2$+8x-15=0
(E7) 2$\ x^2$-7x-15=0
(E8) 3$\ x^2$-$\ \sqrt 2$ x+1=0
(E9) $\ \sqrt{2x+6}$ = x-1

On donne la fonction f(x)=$\ \frac { x-1-\sqrt { x+1 } }{ x\left( x-3 \right) } $
Calculer la limite de f lorsque $\ x\rightarrow 3$ puis lorsque $\ x\rightarrow +\infty$

Soit f une fonction continue de [0,1] vers [0,1]
Pour tout entier naturel non nul n on pose: $\ g_n$(x) = f(x+$\ \frac{1}{n}$)-f(x)
Montrer que pour tout n l'équation $\ g_n$(x)=0 admet une solution dans l’intervalle [0,1-$\ \frac{1}{n}$]

f et g deux fonctions définies et continues de [0,1] vers [0,1], telles que pour tout x de [0,1]on a : fog(x)=gof(x)
Montrer qu'il existe au moins un nombre c de [0,1] tel que: f(c) = g(c)

($\ u_n$) est une suite tel que ($\ u_{2n}$) tend vers a et ($\ u_{2n+1}$) tend vers b.
Montrer que $\ { s }_{ n }=\frac { 1 }{ n+1 } \sum _{ k=0 }^{ n } { u}_{ k }$ tend vers $\ \frac{a+b}{2}$

On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [1,+∞[ par :

$\ f(x) = \frac {1}{x + 1}+ ln(\frac{x}{x+ 1})$.

1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1,+∞[, f ' (x) = $\ \frac {1}{x(x+ 1)^2}$.
3. En déduire le signe de la fonction f sur l’intervalle [1,+∞[.

Dans la figure, M est un point variable du segment [AB], les triangles AMI et BMJ sont équilatéraux. On pose AB = a et AM = x.

1) Montrer que l’aire du triangle MIJ est A(x)=$\ \frac {\sqrt{3}}{4}$x(a-x).
2) Déterminer x pour que l’aire de MIJ soit égale à la moitié de celle de AMI
3) Déterminer la position du point M pour que l’aire du triangle MIJ soit maximale.

On donne la suite arithmétique (U) de raison (-2) et $\ U_0$ = 3
1. Écrire le terme général de la suite (U)
2. Déduire le plus petit indice n tel que $\ U_n$ + 100 < 10-2

1. Resoudre le système Suivant :
$\ \left\{\begin{array}.2x-y=-1  \\x+y=7\end{array}\right.$
2. Déduire les solutions du système
$\ \left\{\begin{array}.2|x|-y^2=-1  \\|x|+y^2=7\end{array}\right.$

On donne la suite arithmétique ($\ U_n$) de raison (3) et $\ U_0$ = -4
1. Écrire le terme général de la suite ($\ U_n$)
2. Exprimer $\ U_{2n+3}$ en fonction de n
3. Calculer la somme : -4 + (-1) + 2 + 5 +...+ 26

On donne la fonction f et  $\ \delta$ sa représentation graphique.

1.Quelle est la nature de la fonction f. Justifier
2.Déterminer f(0) et f(2)
3. Résoudre, par calcule puis graphique, l’inéquation f(x) ≥ 1
4.Tracer la fonction g(x)=4x
5.Résoudre, graphiquement, l’équation f(x)=4x

Pour la fonction f(x) = $\ \sqrt{3x+2}$

Montrer que l'équation  x+x^2+...+x^n=1 admet une unique solution dans [0;+$\ \infty$[ pour tout n naturel non nul ?

Tu as cinq euros. Chaque jour, je t’ajoute 1,5 euros.
Au bout de 30 jours, combien tu auras ?

Soit f la fonction définie par : f(x) = ln(x) + x
1) Soit un entier naturel non nul, on s'intéresse à l'équation : ln(x) + x = $\ \frac{1}{n}$
Justifier qu'elle admet une unique solution dans l'intervalle ]0, +$\ \infty$[. On note $\ \alpha_n$ cette solution.
2) On s'intéresse à la suite ($\ \alpha_n$) lorsque n d'écrit l'ensemble des nombres entiers naturels non nuls.
a) Montrer que la suite ($\ \alpha_n$) est décroissante.
b) Justifier que la suite ($\ \alpha_n$) converge et déterminer sa limite.

On considère un cube ABCDEF GH d’arête de longueur 1. On se place dans le repère orthonormal (A;$\ \vec{AB}$;$\ \vec{AD}$;$\ \vec{AE}$). On considère les points :

I(1,$\ \frac{1}{3}$,0) ; J(0,$\ \frac{2}{3}$,1); K($\ \frac{3}{4}$,0,1)et L(a, 1, 0)

avec a un nombre réel appartenant à l’intervalle [0; 1]. Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A :
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).
2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique $$\ \left\{ \begin{array} xx =\frac{3}{4}+ t'(a-\frac{3}{4}) \\ y =t' \\ z =1-t'\end{array} \right. , t'\in \mathbb{R} $$.
3. Démontrer que les droites(IJ) et(KL)sont sécantes si, et seulement si, a =$\ \frac{1}{4}$
Partie B:  Dans la suite de l’exercice, on pose a =$\ \frac{1}{4}$, le point L de coordonnées ($\ \frac{1}{4}$,1,0)
1. Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.
2. La figure ci-dessous fait apparaître l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cubeABCDEF GH telle qu’elle a été obtenue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.

On désigne par M le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (DH).
Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.
a) Prouver que le vecteur $\ \vec{n}$ de composantes $\ \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 5 \end{pmatrix} $ est un vecteur normal au plan (IJK).
b) En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x+ 9y + 5z −11 = 0.
c) En déduire les coordonnées des points M et N.

On donne la fonction f(x)=2x-1+$\ \ln { \frac { x }{ x+1 }  }$
1. Déterminer :

a. Domaine de définition de f
b. f '(x)
c. Tableau de variation.

2. Montrer que f(x)=0 admet une unique solution $\ \alpha$ dans l'intervalle ]0,+$\ \infty$[. Donner une valeur approchée de $\ \alpha$ a $\ 10^{-1}$ pres.
3. Montrer que la courbe de f admet une asymptote oblique.

On considère un cube ABCDEFGH, d’arêtes de longueur 1. On note I le point d’intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).
1. On se place dans le repère (D;$\ \vec{DA},\vec{DC},\vec{DH}$). Dans ce repère, les sommets du cube ont pour coordonnées : A(1; 0; 0) B(1; 1; 0) C(0; 1; 0) D(0; 0; 0) E(1; 0; 1)F(1; 1; 1) G(0; 1; 1) H(0; 0; 1)
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (AFH).
c. En déduire les coordonnées du point I, puis montrer que le point I est le projeté orthogonal du point E sur le plan (AFH).
d. Vérifier que la distance du point E au plan (AFH) est égale à $\ \frac{\sqrt{3}}{3}$.
e. Démontrer que la droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF). Que représente le point I pour le triangle AF H ?
2. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Définitions :
• un tétraèdre est dit de type 1 si ses faces ont même aire ;
• il est dit de type 2 si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux ;
• il est dit de type 3 s’il est à la fois de type 1 et de type 2.
Préciser de quel(s) type(s) est le tétraèdre EAFH.

"Les trois Soeurs" Sur chacun des trois cartons du jeu auquel jouent Loanna, Laure et Kenza, figure un nombre entier.
Les 3 nombres sont distincts et non nuls.
A chaque tour, chacune tire un carton et gagne le montant en euros égal au nombre inscrit sur le carton tiré. Quand le jeu s'arrête, Kenza vient de gagner pour la première fois.
Le montant total des gains est alors de 20€ pour Loanna, de 10€ pour Laure et de 9 pour Kenza.
Combien y a-t-il eu de tours de jeu et quels sont les montants inscrits sur chaque carton?

Le tableau de variation d'une fonction par la méthode graphique, pour certain élèves débutant, pose un grand problème. Ce problème vient généralement du fait que l’élève ne sait pas lire la courbe dans les différentes régions du plan selon les restrictions bien choisis de la fonction.

Trois candidats, A, B et C se représentent à une élection. Ils obtiennent respectivement 60%, 30% et 10% des suffrages. On sait que 30% des électeurs de A, 60% de B et 40% de C sont des hommes.
On note les événements :
A = "avoir voté pour A",
B = "avoir voté pour B"
C = "avoir voté pour C"
H = "être un homme"
F = être une femme"
1/ Construire un arbre
2/ On interroge au hasard un des électeurs. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
3/ On interroge au hasard un homme. Quelle est la proba que cet homme ait voté pour B ?

Soit un entier n>= 2. On pose : $\ P_n(x) = x+x^2+x^3+...+x^n$
1) Montrer que l'équation $\ P_n$(x)=1 a une unique solution a_n dans [0 ; 1 ]
2) Montrer que la suite ($\ a_n$) converge vers une limite l dans [0 ; 1]
3) Déterminer sa limite

Une séquence d'épreuves indépendantes consiste à jeter plusieurs fois une paire de dés réguliers.
On appelle résultat la somme des chiffres apparents.
Quelle est la probabilité qu'on voit sortir un résultat valant 5 avant qu'un 7 n'apparaisse ?

1) Un assemblage électronique se compose de deux sous-systèmes indépendants A et B.
  Des procédures de tests précédents montrent les probabilités suivantes :

 p (A échoue) = 0,2
 p (B échoue) = 0,19
 P (A tombe en panne ou B échoue) = 0.18 

 Quelle est la probabilité que A et B échouent.
2) La probabilité qu'un élève possède une voiture est 0,65 et la probabilité qu'un élève possède un ordinateur est 0,82. Si la probabilité qu'un élève possède les deux à la fois est 0,55,
quelle est la probabilité pour que l’élève ne possède rien?

Agathe possède dans un tiroir des paires de chaussettes:

• 5 paires noires 
• 3 paires blanches 
• 2 paires rouges 

 Elles sont rangées en désordre dans le tiroir. Agathe veut prendre une paire sans regarder, elle prend donc 2 chaussettes au hasard
1) Calculer la probabilité à  $\ 10^{-2}$  qu'Agathe ait tiré :

• 2 chaussettes noires
• 2 chaussettes de même couleurs 

2) En supposant que le nombre de chaussettes blanches et rouges reste inchangé, déterminer le nombre n de chaussettes noire devant se trouver dans le tiroir pour que la probabilité qu'Agathe ait tiré 2 chaussettes noires soit de $\ \frac{2}{7}$.
3) On reprend le nombre de chaussettes initial Agathe voudrait étendre sa gamme de coloris de chaussettes. Elle décide d'en acheter des jaunes et des bleues. Sachant qu'elle veut acheter 2 fois plus de chaussettes bleues que de jaunes, combien de chaussettes jaunes doit elle acheter pour que la probabilité de tirer 2 chaussettes de même couleur, dans les mêmes conditions que celle de la question 1 soit $\ \frac{25}{124}$

ABCD est un tétraèdre, I est le milieu de [AD] et G le centre de gravité du triangle ABC.
Le point F est l'intersection de la droite (IG) et du plan (BCD).
1) Démontrez que BDCF est un parallélogramme? ou bien:
2) Démontrez que les diagonales du quadrilatère BDCF se coupent en leur milieu?

Soit ABC un triangle. I est le barycentre de (A,2) et (C,1), J celui de (A,1) et (B,2) et K celui de (C,1) et (B,- 4).
1°) Montrer que J est le milieu de[KI].
2°) Soit L et M les milieux respectifs de [CI] et [CK].
Montrer que IJML est un parallélogramme et que son centre G est l'isobarycentre de A, B et C (ou centre de gravite du triangle ABC).

C'est un pays dont la population. reste constante et égale à 10 millions d'habitants.
Chaque année 10% de la population. rurale émigre vers les zones urbaines alors que 5% de la pop. urbaine émigre vers les zones rurales.
Au début de l'étude, (année O) on a 6 millions de ruraux et 4 millions de citadins.
On note Rn la population en millions d'habitants des zones rurales et Un celles des zones urbaines à l'année n.
Prouver que pour tout n, $$\ R_{n+1} = 0.9R_{n} + 0.05U_{n}$$
Et $$\ U_{n+1} = 0.95U_{n} + 0.1R_{n}$$

Soit A et B deux 2 points et G le barycentre de {(A,3),(b,-2)}. Soit A' et B' les points tels que :

$\ \vec{AA'}$= $\ \vec{GA}$ et $\ \vec{BB'}$= $\ \vec{GB}$

Démontrer que G est aussi le barycentre des points pondérés (A',3),(B',-2)

Soient $\ \left( { a }_{ n } \right) $ et $\ \left( { b }_{ n } \right) $ deux suites
convergentes de limites respectives a et  b Montrer que $\ { s }_{ n }=\frac { 1 }{ n+1 } \sum _{ k=0 }^{ n }{ { a }_{ k }{ b }_{ n-k } } $ converge vers ab. On traitera le cas  a=0

Une usine fabrique des lecteurs MP3. A l'issue de la chaine de montage, les lecteurs sont testés (mais le test n'est pas infaillible). On sait que :
- 5% des lecteurs sont défectueux
- 7% des lecteurs sont rejetés lors du test
- 90% des lecteurs ne sont ni défectueux, ni rejetés lors du test
On choisit au hasard un lecteur construit par l'usine.
On note R l'événement "le lecteur est rejeté lors du test" et P son contraire.
On note D l'événement "le lecteur est défectueux" et C son contraire.
1. Modéliser la situation à l'aide d'un tableau à double entrée.
2. Décrire puis donner la probabilité des événements suivants : C, P inter D, C union R.
3. Exprimer mathématiquement puis calculer la probabilité des événements suivants :
- "le lecteur n'est pas rejeté"
- "le lecteur n'est pas défectueux et il est rejeté par le test"
4. Le test est erroné (événement E) s'il ne rejette pas un lecteur défectueux. Calculer P(E).
5. On choisit au hasard 3 lecteurs. Le nombre de lecteurs est assez grand pour que l'on assimile ce choix à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité qu'aucun ne soit défectueux ? Quelle est la probabilité qu'au moins un le soit ?

ABCD est un parallélogramme
Le point M est à l'intérieur de ce parallélogramme
Les parallèles à (AB) et (AD) passant par M coupent les côtés [AD], [DC], [CB] et [AB] respectivement en E,F,G et H.
1.Faire la figure sur logiciel. Conjecturer les positions relatives des trois droites (EF), (GH) et (AC)
2. On note (x;y) les coordonnées de M dans le repère (A,B,D)
a.Donner les coordonnées des points E,F,G et H en fonction de x et y.
b. Donner une condition nécessaire et suffisante sur x et y pour que (EF) et (GH) soient parallèles.
c. Quel est l'ensemble des points M tels que (EF) et (GH) soient parallèles ?
3. Quand (EF) et (GH) sont parallèles, que peut on dire de la droite (AC) ?

1) Avec le logiciel, si on deplace le point M a l'interieur de ABCD on remarque que lorsque M se deplace sur [BD] les droites (EF), (AC) et (GH) deviennent paralleles. par contre ailleur non 2)a) E(0,y); F(x,1); G(1,y) et H(x,0) b) vous savez que deux droites paralleles si elles ont meme coeficient directeur (vous trouvez x+y-1=0) c) B(1,0) et D(0,1) qui verifient l'equation x+y-1=0 donc M decrit le segment [BD] (resultat de de question 1) ) 3) (EF) et (GH) sont paralleles alors d'apres Thales $\ \frac{MG}{ME}=\frac{MH}{MF}$ de plus on a MG=FC , ME=FD , MH=EA et MF=ED. on aura $\ \frac{FC}{FD}=\frac{EA}{ED}$ reciproque de Thales nous deduit que (EF) // (AC)

Pour analyser le fonctionnement d'une machine d'atelier, on note, mois après mois, ses pannes et on remarque que :
- sur un mois la machine tombe au plus une fois en panne ;
-si pendant le mois <<m>> la machine n'a pas de panne, la
probabilité qu'elle en ait une le mois suivant <<m+1>> est 0,24 ;
-si la machine tombe en panne le mois <<m>> (ce qui entraîne sa révision), la probabilité qu'elle tombe en panne le mois suivant <<m+1>> est 0,04 ;
-la probabilité que la machine tombe en panne le premier mois après sa mise en service est 0,1.
On désigne par En l'événement : <<la machine tombe en panne le n_ième mois suivant sa mise en service>> ; on note Pn la probabilité de En (on a ainsi P1=0,1).
1)a) Donner les valeurs numériques des probabilités de <<En+1 sachant que En>> et de <<En+1 sachant que $\ \overline { En } $>>.
Exprimer les probabilités de <<En+1 et En>>  et de <<En+1 et En>> en fonction de Pn.
b) utiliser a) pour montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a Pn+1=0,24-0,2Pn.
2)a) Résoudre l'équation p=0,24-0,2p.
b) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on pose
Un=Pn-p. Calculer Un+1 en fonction de Un ; en déduire la nature de la suite (Un).
c) En déduire les expressions en fonction de n, Un, puis de Pn.
d) Montrer que (Pn) est convergente. Expliciter sa limite.

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3 unités de longueur. B' est le milieu de [AC] et D est le point défini par 4$\ \vec{AD}$ = $\ \vec{AB}$+3$\ \vec{BC}$.
Démontrer que D est le barycentre de (A,3), (B,-2), (C,3) et en déduire que D appartient à la médiatrice du segment [AC].

ABCD est un carré de côté 1 et de centre O. I est le milieu de [OD] et J est le milieu de [AB] et (JF)//(IE).
1) Quelle et la nature du triangle IJC ? Justifiez votre réponse.
2) Montre que les triangles bleus sont isométriques

ABCD est un carré de côté 2$\ \sqrt2$ et f l'application définie dans le plan par :
 f(M) = $\ \vec{MA}.\vec {MB}$+$\ \vec{MC}.\vec{MD}$
1°) Faire un dessin après avoir calculé la diagonale du carré ABCD.
2°) Construire en justifiant le barycentre G de (A,2), (B,1), (D,1).
3°) Calculer f(A) puis f(G).
4°) Soit I le milieu de [AB] et J celui de [CD].

a) Prouver que f(M) = $\ MI^2$ + $\ MJ^2$ - 4 .
b) Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que f(M) = f(G) et le tracer.

5°) Soit A(-3;3), B(-1;1), C(-3;-1), D(-5;1) dans un repère orthonormal (O; $\ \vec i$,$\ \vec j$). Déterminer analytiquement l'ensemble des points M tels que f(M) = 2 et sans utiliser la question 4°) retrouver alors le résultat de cette question.

On donne un triangle rectangle d’hypoténuse 4 cm,  Sur chacun de ses trois côtés, on construit extérieurement trois triangles équilatéraux.
 Quelle est la somme des aires de ces trois triangles

L'algorithme suivant représente la démarche à suivre lors d'une résolution d'une équation de second degré.

1) Soit a un nombre réel different de -1. On considère la suite (Un) n€N définie par U0=a et telle que pour tout entier naturel n: U(n+1)= Un²+Un. Etudier la monotonie de la suite (Un).
2)a) On considère la fonction h définie sur R par h(x)=x²+x, étudier son sens de variation.
En déduire que pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]-1;0[ le nombre h(x) appartient aussi à l'intervalle ]-1;0[.
b) Démontrer que pour tout entier naturel n: -1< Un < 0
3)Etudier la convergence de la suite (Un). Déterminer, si elle existe sa limite

Dans la figure ci-contre, OABC et CGEF sont deux carrés tels que OA = 3 et CG = 1. Montrer que les droites (OF), (BG) et (AE) sont concourantes.
Indications :
Dans le repère cartésien (O, $\ \vec{OC}$, $\ \vec{OA}$), déterminer une équation cartésienne pour chacune des trois droites.

On donne deux réels strictement positives a et b et la suite :

Un = $\ \frac{a^n - b^n}{a^n + b^n}$

Trouver la limite de Un

Soit ABCD un rectangle. On note I le milieu de [AB] et E le centre de gravité du triangle ABC.
1°) Construire le barycentre F de (C, 1) et (D,3).
2°) Démontrer que le milieu G de [ED] est le barycentre de (A, 1),(B, l),(C,1) et (D,3).
3°) Démontrer que G appartient à la droite (IF).
4°) Soit K le point défini par  $\  \vec{AK}$ =$\ \frac{3}{4} \vec{AD}$ .
Montrer que le milieu de [BC] appartient à la droite (GK).

Des enfants sont classes d’après la  durée écoulée entre la date de mariage de leurs parents et la date de leur naissance.
Les observations faites sont consignées dans le tableau suivant.

Année	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Nb d’enfants	91	72	60	52	45	40	37	32	26	25	20

1. Compléter le tableau par les effectifs cumulés croissants et les fréquences.
2. Calculer la moyenne et l’écart type du caractère étudié.
3. Trouver la mode, la médiane et les quartiles Q1 et Q3
4. Déduire la boite de dispersion.

Dans une ville de 20 000 habitants, à 7 h du matin, 100 personnes connaissent la nouvelle. Une heure plus tard, 350 personnes en tout la connaissent. Soit $\ u_n $ le nombre de personnes « au courant »au bout de n heures. On adopte l’hypothèse « le nombre de personnes touchées par la rumeur dans l’intervalle de temps [n ; n+1] est proportionnel à $\ u_n$ ».

a) Montrer qu'il existe un réel a tel que $\ u_{n+1}$=(1+a)$\ u_n$ pour tout entier naturel n.
b) Quelle est la nature de la suite ($\ u_n$) ?
c) Préciser $\ u_0$ et $\ u_1$. En déduire le réel a.
d) En déduire que $\ u_n$ =100 x $\  3,5^n$

Le tableau suivant représente la répartition des salaires, exprimés en centaines de dinars, d’une entreprise.

Salaire	[0,5[	[5,7[	[7,10[	[10,13[	[13,17[	[17,20[
Nb d’employeurs	210	520	430	100	70	30

1. Calculer la moyenne des salaires.
2. Déterminer la classe modale de cette série.
3. Déterminer la boite de dispersion.

1/ Etudier pour tout réel x positif, le signe $\ \sqrt{x}- x.
2/ La suite (Un) est définie par un premier terme $\ U_0$ et vérifie pour tout n €N la relation Un+1 =$\ \sqrt{Un}$
a/ Lorsque $\ U_0$=4, donner les valeurs approchées des quatre premiers termes de la suite (Un)
b/Lorsque $\ U_0$=4, on admet que tous les termes de la suite (Un) sont supérieurs à 1. Etudier les variations de la suite (Un)
c/Lorsque $\ U_0$= 0.04, on admet que tous les termes de la suite (un) sont inférieurs à 1. Etudier les variations de la suite (Un)
3/ Représenter la suite (Un) lorsque $\ U_0$=4 (On se limitera des 4 premiers termes)

a/ Vérifier les valeurs calculées en 2/a.
b/ Construire les six premiers termes de la suite (Un) lorsque $\ U_0$= 0.04
c/ Conjecturer la limite de la suite (Un); Ce résultat dépend-il du terme initial?

Une enquête sur le nombre d'heures de cours hebdomadaires des lycéens a donné les résultats suivant pour les 1902 élèves de deux lycéens :
 Nombre d'heures      27    28    29     30   31    32    33    34    35
 Effectif                      231  352  411   98  153   197  87    214  159
 1. Calculer le nombre d'heures moyen de cours hebdomadaire pour ces lycéens.
 2. Sachant que ces lycéens travaillent 6 jours par semaine quel est le nombre d'heures moyen de cours journalier ?

($\ a_n$) une suite arithmétique tel que: $\ a_n$>0 et lim $\ \frac {a_n}{n}$ = 1
Soit ($\ X_n$) une suite tel que: $\ X_n$= $\ \frac{1}{ a_{n+1}}$+ $\ \frac{1}{ a_{n+2}}$ + ..... + $\ \frac{1}{ a_{2n}}$
Montrer que ($\ X_n$) est convergente.

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000€ à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.
On note Cn le capital du client au 1er janvier de l'année 200+n, ou n est un entier naturel.
1) Calculer C1 et C2. Arrondir les résultats au centimes d'euros.
2) Exprimer Cn+1 en fonction de Cn. En déduire que, pour tout membre entier naturel n, on a la relation: Cn= 3000.$\ 1,025^n$.
3) Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de 5000€. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date.
4) Déterminer en justifiant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10.

On définit la suite $\ U_n $pour tout entier naturel par : $$\ U_0=1 et U_{n+1}= \frac{1}{3}U_n+n-2$$
1. Calculer $\ U_1,U_2,U_3 $
2. On définit la suite $\ V_n=U_n- \frac {3}{2}n+ \frac {21}{4} $
Montrer que la suite $\ (V_n) $ est géométrique et préciser la raison et le premier terme
3. Exprimer $\ V_n puis U_n$ en fonction de n
4. Déterminer le plus petit entier n tel que $\ U_n > 1000 $
5. On définit la somme $\ S_n= \sum_{k=0}^{n-1} u_k$
Exprimer alors $\ S_n $ en fonction de n